剩余平方和(Residual Sum of Squares, RSS)是统计学术语,也称为残差平方和,它表示实际值与估计值之差的平方的总和。具体计算步骤如下:
计算每个数据点的残差
对于每个数据点 $(x_i, y_i)$,其残差 $\text{Residual}_i$ 是实际值 $y_i$ 与通过回归模型预测的值 $\hat{y}_i$ 之差,即 $\text{Residual}_i = y_i - \hat{y}_i$。
计算残差平方和
将所有残差平方后相加,即 $\text{RSS} = \sum_{i=1}^{n} (\text{Residual}_i)^2$。
示例
假设有以下数据点:
$$
\begin{align*}
(x_1, y_1) &= (1, 2) \\
(x_2, y_2) &= (2, 3) \\
(x_3, y_3) &= (3, 5) \\
(x_4, y_4) &= (4, 4) \\
(x_5, y_5) &= (5, 5)
\end{align*}
$$
假设回归模型为 $\hat{y} = \beta_0 + \beta_1 x$,且已经通过最小二乘法求得回归系数 $\beta_0 = 1$ 和 $\beta_1 = 1$。
计算预测值
$\hat{y}_1 = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 2$
$\hat{y}_2 = 1 \cdot 2 + 1 \cdot 2 = 4$
$\hat{y}_3 = 1 \cdot 3 + 1 \cdot 3 = 6$
$\hat{y}_4 = 1 \cdot 4 + 1 \cdot 4 = 8$
$\hat{y}_5 = 1 \cdot 5 + 1 \cdot 5 = 10$
计算残差
$\text{Residual}_1 = 2 - 2 = 0$
$\text{Residual}_2 = 3 - 4 = -1$
$\text{Residual}_3 = 5 - 6 = -1$
$\text{Residual}_4 = 4 - 8 = -4$
$\text{Residual}_5 = 5 - 10 = -5$
计算残差平方和
$\text{RSS} = 0^2 + (-1)^2 + (-1)^2 + (-4)^2 + (-5)^2 = 0 + 1 + 1 + 16 + 25 = 43$
因此,剩余平方和为 43。
总结
剩余平方和(RSS)通过计算实际值与预测值之差的平方和来衡量模型预测的误差。它在回归分析中用于评估模型的拟合优度,即模型对数据的拟合程度。
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