根据《中华人民共和国道路交通安全法》和相关法律规定，肇事逃逸不构成犯罪的情况下，公安机关交通管理部门可以对肇事者进行以下处罚：
1. 罚款：处以200元以上2000元以下的罚款。
2. 拘留：可以并处15日以下的行政拘留。
3. 吊销驾驶证：由公安机关交通管理部门吊销机动车驾驶证，并规定终生不得重新取得机动车驾驶证。
此外，如果肇事逃逸行为造成了他人人身或财产的损失，肇事者还需承担相应的民事赔偿责任。
需要注意的是，这些处罚措施是为了维护道路交通秩序，保护公民的人身和财产安全，对肇事逃逸行为进行严厉惩处
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